平均値のパラメータの推定
具体的な値は，参考にしたサイトの値を使わさせていただきます．
| i | x |
| 1 | 10 |
| 2 | 8 |
| 3 | 23 |
| 4 | 14 |
| 5 | 20 |
平均値，標準誤差の計算は，
| i | x | \(x - \bar{x} \) | \((x - \bar{x})^2 \) |
| 1 | 10 | -5 | 25 |
| 2 | 8 | -7 | 49 |
| 3 | 23 | 8 | 64 |
| 4 | 14 | -1 | 1 |
| 5 | 20 | 5 | 25 |
| \(\bar{x} \) | 15 | ||
| Se 残差平方和 | 164 | ||
| Ve 分散 | 41 | ||
| S.D. 標準偏差 | 6.403 | ||
| S.E. 標準誤差 | 2.864 |
となります．
次に，平均値ではなく，任意の値，a，を使って残差を求めて行きましょう．
| i | x | ||||||||||||||||
| δ | -4 | -2.864 | -2 | 0 | 2 | 2.864 | 4 | ||||||||||
| a | 11 | 13 | 13 | 15 | 17 |
|
19 | ||||||||||
| x-a | (x-a)2 | x-a | (x-a)2 | x-a | (x-a)2 | x-a | (x-a)2 | x-a | (x-a)2 | x-a | (x-a)2 | x-a | (x-a)2 | ||||
| 1 | 10 | -1 | 1 | -2.136 | 4.564 | -13 | 169 | -5 | 25 | -7 | 1 | -7.863 | 61.83 | -9 | 81 | ||
| 2 | 8 | -3 | 9 | -4.136 | 17.11 | -5 | 25 | -7 | 49 | -9 | 81 | -9.863 | 97.28 | -11 | 121 | ||
| 3 | 23 | 12 | 144 | 10.86 | 118.01 | 10 | 100 | 8 | 64 | 6 | 36 | 5.136 | 26.38 | 4 | 16 | ||
| 4 | 14 | 3 | 9 | 1.863 | 3.472 | 1 | 1 | -1 | 1 | -3 | 9 | -3.863 | 14.92 | -5 | 25 | ||
| 5 | 20 | 9 | 81 | 7.863 | 61.83 | 7 | 49 | 5 | 25 | 3 | 9 | 2.136 | 4.564 | 1 | 1 | ||
| S 残差平方和 | 244 | 205 | 184 | 164 | 184 | 205 | 244 | ||||||||||
| ΔS | 80 | 41 | 20 | 0 | 20 | 41 | 80 | ||||||||||
となります．
ここで，平均値と任意の値の差を，ｖとします．
\(\Large \displaystyle \delta = a - \bar{x} \)
そして，残差平方和，S，とδとの関係を図示すると，
となり，計算と同じ結果となります.
ここで重要なのは，以下の式のように
\(\Large \begin{eqnarray} \displaystyle S &=&
\sum_{i=1}^{n} \left( x_i - \bar{x} \right)^2 + \sum_{i=1}^{n} \delta^2 \\
&=& Se + n \delta^2 \\
\end{eqnarray} \)
ここで重要なのは，以下の式のように
\(\Large \displaystyle \delta = 0 : S=Se \)
二乗項の係数 ： ｎ
とちゃんとなっていること．
さらに，
\(\Large \displaystyle \delta = S.E. \)，（±2.864)，を代入すると，
\(\Large \displaystyle S - Se = 41 = Ve \)
とちゃんとなっていることがわかります．
したがって，平均値の場合，
当てはまりの悪さ，S，がSe + Ve，の場合のδが，標準誤差，SE，となります．
次に線形の場合について，確認してみましょう．
